Общая характеристика курса
Настоящая рабочая программа учебного курса «Трудные вопросы математики. 8
класс» разработана в соответствии с требованиями федерального государственного
образовательного стандарта основного общего образования (далее – ФГОС ООО) и
направлена на организацию обучения математическому содержанию, выходящему за рамки
Федеральной рабочей программы по учебному предмету «Математика» (базовый уровень)
основного общего образования (далее – ФРП), с учетом использования видов деятельности
обучающихся, отличных от урочных.
При разработке Программы учитывались следующие документы:
– письмо Министерства просвещения Российской Федерации от 5 июля 2022 г. №
ТВ-1290/03 «О направлении методических рекомендаций» по организации внеурочной
деятельности в рамках реализации обновленных федеральных государственных
образовательных стандартов начального общего и основного общего образования; –
распоряжение Правительства Российской Федерации от 19 ноября 2024 г. № 3333-р «Об
утверждении комплексного плана мероприятий по повышению качества математического
и естественно-научного образования на период до 2030 года».
Актуальность курса В условиях реализации такой стратегической задачи, как
достижение технологического суверенитета страны, перед математическим образованием
в числе главных поставлены следующие цели: развитие творческих и исследовательских
способностей обучающихся, их подготовка в процессе обучения математике к выбору
профессий, связанных с развитием точных и естественных наук и технологий. Как важный
количественный показатель повышения интереса к математике выделяется рост количества
выпускников, выбирающих на государственной итоговой аттестации экзамен по
математике на профильном уровне.
Освоение предлагаемой Программы способствует повышению у обучающихся
уровня мотивации к изучению математики, к продолжению изучения математики в 10–11
классах на углубленном уровне и ориентирует на выбор единого государственного
экзамена по математике профильного уровня. Кроме того, освоение предлагаемого в
Программе содержания позволяет расширить круг решаемых математических задач за счет
включения проблемных, нестандартных задач, задач прикладного характера, выполнения
исследовательских работ, в том числе с межпредметным содержанием, изучения
дополнительных вопросов как теоретического, так и практического характера.
Предусмотренные Программой виды деятельности – индивидуальная и групповая
проектная и исследовательская деятельность – способствуют развитию познавательных,
регулятивных и коммуникативных умений обучающихся. Программа соответствует идее
расширения прикладной направленности курса математики на уровне основного общего
образования. Реализация курса способствует выявлению талантливых и одаренных
обучающихся, поддержке их талантов и развитию способностей.
В большинстве тем курса предполагается выполнение исследовательских работ.
Учебное исследование по математике в 8 классе предполагает получение субъективно
нового для обучающегося результата и направлено на формирование исследовательских
умений: выделение проблемы, организация и анализ данных, выдвижение гипотезы,
проверка гипотезы, формулирование выводов и представление результатов на грамотном
математическом языке.
Программа может быть востребована обучающимися, которые имеют интерес к
изучению математики, готовятся к участию в олимпиадах школьников по математике и
углубленному изучению математики на уровне среднего общего образования.
Цель и задачи курса
Цель Программы – обеспечить индивидуальные потребности обучающихся в
изучении содержания математики, выходящего за рамки программы базового уровня.
Задачи курса:

1. Повышение уровня математической подготовки обучающихся, развитие
устойчивого интереса к учебному предмету «Математика».
2. Развитие творческих способностей, пространственного воображения,
теоретического мышления и математической интуиции, умений рассуждать логически и
анализировать ситуации.
3. Углубление и закрепление базовых знаний, формирование устойчивых навыков
решения нестандартных и олимпиадных задач, освоение нестандартных подходов и
оригинальных решений.
4. Ознакомление с дополнительными разделами математики, выходящими за рамки
базового курса.
5. Воспитание самостоятельности, настойчивости и организованности в ходе
решения сложных задач.
6. Развитие навыков командной работы, дружеского соперничества и здоровой
конкуренции среди сверстников.
7. Подготовка обучающихся к участию в школьных, районных, городских,
региональных, всероссийских олимпиадах, конкурсах и соревнованиях по математике.
8. Повышение уровня грамотности в области использования «математических
пакетов», обеспечивающих автоматизацию процессов поиска, анализа, обработки,
создания, передачи, формализации (в виде статических и динамических графиков,
диаграмм и прочей визуализаций результатов анализа и математических закономерностей)
в процессе учебной деятельности при изучении математики.
9. Развитие творческих способностей, теоретического мышления на основе
использования цифровых инструментов (в том числе «математических пакетов») в области
моделирования, имитации и интерпретации абстрактных математических объектов и
образов в виде различных визуализаций (в том числе пространственных объектов).
Программа разработана с учетом рекомендаций федеральной рабочей программы
воспитания. В частности, она учитывает психолого-педагогические особенности
соответствующей возрастной категории обучающихся.
Таким образом, реализация Программы содействует получению следующих
результатов:
– достижение обучающимися планируемых личностных, метапредметных и
предметных результатов, в т. ч. соответствующих углубленному уровню изучения
математики;
– развитие личности обучающихся, формированию и удовлетворению их социально
значимых интересов и потребностей;
– самореализация обучающихся через участие во внеурочной деятельности по
предмету.
Место учебного курса в учебном плане
Рабочая программа учебного курса «Трудные вопросы математики» предназначена
для реализации в 8 классе и направлена на достижение обучающимися планируемых
результатов. Последовательность изучения тем курса совпадает по времени с изучением
курса математики (алгебры и геометрии) основной школы базового уровня, все темы по
возможности синхронизированы с базовым курсом математики по классам. Темы по
алгебре и геометрии чередуются, что позволяет максимально приблизить их по времени
изучения к освоению базового курса. Программа учебного курса рассчитана на 34 часа, по
1 часу в неделю, за счет часов части учебного плана, формируемой участниками
образовательных отношений.
Содержание обучения
Числа и вычисления
Квадратный корень. Выполнение операций с иррациональными числами.
Алгебраические выражения

Дробно-рациональные выражения. Степени. Выполнение тождественных
преобразований рациональных выражений.
Центральная симметрия
Формулировка определения и доказательство свойств центрально-симметричных
фигур.
Деление отрезка на равные части с помощью циркуля и линейки.
Исследовательская работа: свойства центрально-симметричных фигур.
Проект: центральная симметрия в окружающем мире.
Уравнения и неравенства
Определение равносильных уравнений. Применение свойств уравнений с одной
переменной. Определение количества действительных корней квадратного уравнения.
Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или квадратным
уравнениям, использование метода замены переменной. Решение текстовых задач
алгебраическим способом: переход от словесной формулировки условия задачи к
алгебраической модели путем составления уравнения; решение составленного уравнения;
интерпретация результата. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными.
Решение систем уравнений, в которых одно из уравнений не является линейным.
Графическая интерпретация решения уравнения с двумя переменными и систем уравнений
с двумя переменными. Решение нелинейных неравенств и их систем. Решение неравенств,
содержащих знак модуля. Изображение решения неравенства с одной переменной и
системы неравенств на координатной прямой, запись решения с помощью символов.
Неравенство с двумя переменными. Графический метод решения систем неравенств с
двумя переменными.
Исследовательская работа: равносильность и следствие.
Исследовательская работа: графическая интерпретация уравнений с двумя
переменными.
Исследовательская работа: графический метод решения систем неравенств с двумя
переменными.
Преобразование подобия
Преобразование подобия и подобные фигуры. Соотношения в подобных фигурах.
Исследовательская работа: что такое фрактал?
Доказательство неравенств
Оценка значения выражения с использованием неравенств.
Применение свойств неравенств в ходе решения задач.
Определение равносильных неравенств.
Доказательство неравенств.
Решение текстовых задач с помощью линейных неравенств с одной переменной.
Исследовательская работа: линейное неравенство с одной переменной с параметром.
Исследовательская работа: линейное неравенство с одной переменной с параметром.
Прямоугольные треугольники
Доказательство соотношений между пропорциональными отрезками в
прямоугольном треугольнике. Применение соотношений при решении задач.
Функции
Поиск области определения и множества значений функции. График функции k/x.
Функция вида (ax+b)/(cx/d).
Числа и вычисления: делимость
Формулировка делимости нацело, чисел, сравнимых по данному модулю.
Выполнение деления с остатком. Доказательство и применение свойств сравнений по
модулю. Нахождение остатков суммы и произведения по данному модулю.
Исследовательская работа: делимость.

Планируемые результаты освоения учебного курса «Трудные вопросы
математики»
Реализация программы учебного курса «Трудные вопросы математики» направлена
на обеспечение достижения обучающимися личностных, метапредметных и предметных
образовательных результатов.
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ в части:
– патриотического воспитания: проявление интереса к прошлому и настоящему
российской математики; ценностное отношение к достижениям российских математиков и
российской математической школы, к использованию этих достижений в других науках и
прикладных сферах;
– гражданского и духовно-нравственного воспитания: готовность к выполнению
обязанностей гражданина и реализации его прав; представление о математических основах
функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества
(например, выборы, опросы), готовность к обсуждению этических проблем, связанных с
практическим применением достижений науки; осознание важности морально-этических
принципов в деятельности ученого;
– трудового воспитания: установка на активное участие в решении практических
задач математической направленности; осознание важности математического образования
на протяжении всей жизни для успешной профессиональной деятельности и развитие
необходимых умений; осознанный выбор и построение индивидуальной траектории
образования и жизненных планов с учетом личных интересов и общественных
потребностей;
– эстетического воспитания: способность к эмоциональному и эстетическому
восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений; умение видеть
математические закономерности в искусстве;
– ценности научного познания: ориентация в деятельности на современную систему
научных представлений об основных закономерностях развития человека, природы и
общества; понимание математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов
ее развития и значимости для развития цивилизации; овладение языком математики и
математической культурой как средством познания мира; овладение навыками
исследовательской деятельности;
– физического воспитания, формирования культуры здоровья и эмоционального
благополучия: готовность применять математические знания в интересах своего здоровья,
ведения здорового образа жизни (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и
отдыха, регулярная физическая активность), сформированность навыка рефлексии,
признание своего права на ошибку и такого же права другого человека;
– экологического воспитания: ориентация на применение математических знаний
для решения задач в области сохранности окружающей среды; планирование поступков и
оценка их возможных последствий для окружающей среды; осознание глобального
характера экологических проблем и путей их решения;
– адаптации к изменяющимся условиям социальной и природной среды: готовность
к действиям в условиях неопределенности, повышению уровня своей компетентности через
практическую деятельность, в том числе умение учиться у других людей, приобретать в
совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимость формировать новые знания, формулировать идеи, понятия, гипотезы об
объектах и явлениях, в том числе ранее не известных, осознавать дефициты собственных
знаний и компетентностей, планировать свое развитие; способность осознавать стрессовую
ситуацию, воспринимать стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер,
корректировать принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и
последствия, формировать опыт;
– воспитания информационной культуры: проявление интереса к использованию
цифровых технологий для оптимизации процессов поиска, анализа, обработки, создания,

передачи математической информации и визуализаций математических обобщений и
результатов анализа; готовность к использованию цифровых инструментов для выполнения
учебной деятельности при изучении математики; способность применять цифровые
инструменты в условиях реализации мер по предупреждению возможных негативных
последствий активного и систематического применения цифровых технологий в учебных
целях.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
– выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов,
понятий, отношений между понятиями, формулировать определения понятий,
устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и
сравнения, критерии проводимого анализа;
– воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и
отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
– выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах,
данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для выявления
закономерностей и противоречий;
– делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии;
– разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от противного),
проводить самостоятельно доказательства математических фактов, выстраивать
аргументацию, приводить примеры и контрпримеры, применять метод математической
индукции, обосновывать собственные рассуждения;
– выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов
решения, выбирать наиболее подходящий с учетом самостоятельно выделенных
критериев).
Базовые исследовательские действия:
– использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, самостоятельно
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию,
мнение;
– проводить по самостоятельно составленному плану эксперимент, исследование по
установлению особенностей математического объекта, зависимостей объектов между
собой;
– самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведенного наблюдения, исследования, эксперимента, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
– прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения
о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
– выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для
решения задачи;
– выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию
различных видов и форм представления;
– выбирать форму представления информации и иллюстрировать решаемые задачи
схемами, диаграммами, иной графикой и их комбинациями;
– оценивать надежность информации по критериям, предложенным или
сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:

– воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями
общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных
текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
– в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы,
решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои
суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство
позиций, в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
– представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта,
самостоятельно выбирать формат выступления с учетом задач презентации и особенностей
аудитории;
– понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при
решении учебных математических задач, принимать цель совместной деятельности,
планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться,
обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких людей;
– участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые
штурмы» и иные); выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими
членами команды, оценивать качество результата и качество своего вклада в общий
результат по критериям, сформулированным участниками взаимодействия.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
– выявлять проблемы для решения в жизненных и учебных ситуациях,
ориентироваться в различных подходах принятия решений (индивидуальное, групповое);
– самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть),
выбирать способ решения с учетом имеющихся ресурсов и собственных возможностей,
аргументировать и корректировать варианты решений с учетом новой информации.
Самоконтроль:
– владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи, самомотивации и рефлексии;
– предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить
коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, найденных ошибок,
выявленных трудностей;
– оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям,
объяснять причины достижения или недостижения цели, находить ошибку, давать оценку
приобретенному опыту.
Эмоциональный интеллект:
– выражать эмоции при изучении математических объектов и фактов, давать
эмоциональную оценку решения задачи.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения программы учебного курса к концу обучения в 8
классе:
Понимать и использовать представления о расширении числовых множеств.
Свободно оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный
корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни, используя при
необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих
квадратные корни, используя свойства корней.
Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для
сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на
координатной прямой.
Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и
степеней числа 10, записывать и округлять числовые значения реальных величин с
использованием разных систем измерений.

Свободно оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений
по модулю, находить остатки суммы и произведения по данному модулю.
Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях.
Применять основное свойство рациональной дроби.
Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение,
умножение, деление алгебраических дробей.
Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.
Применять преобразования выражений для решения различных задач из
математики, смежных предметов, из реальной практики.
Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования
выражений, содержащих степени с целым показателем.
Находить допустимые значения переменных в выражениях, содержащих
арифметические квадратные корни.
Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства
корней.
Решать дробно-рациональные уравнения.
Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы линейных
уравнений с параметрами.
Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением
графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений
решения, если имеет, то сколько, и прочее).
Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с
помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в
соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные
неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию
множества решений неравенства, системы неравенств.
Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины,
символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента,
определять свойства функции по ее графику.
Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по ее графику.
Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их
свойствами при решении геометрических задач. Различать признаки и свойства
параллелограмма, ромба и прямоугольника, доказывать их и уверенно применять при
решении геометрических задач.
Распознавать центрально-симметричные фигуры и использовать их свойства при
решении задач.
Владеть
понятиями
подобия
треугольников,
коэффициента
подобия,
соответственных элементов подобных треугольников. Иметь представление о
преобразовании подобия и о подобных фигурах. Пользоваться признаками подобия
треугольников при решении геометрических задач. Доказывать и применять отношения
пропорциональности в прямоугольных треугольниках. Применять подобие в практических
задачах.
Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника,
параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь
треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо,
калькулятором). Знать отношение площадей подобных фигур и применять при решении
задач. Применять полученные умения в практических задачах.
Применять полученные знания на практике – строить математические модели для
задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия
и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором).

№

1

2

3

4

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Наименование
Количество Программное содержание
разделов
и
тем часов
учебного курса
Числа и вычисления 2
Квадратный
корень.
Выполнение операций с
иррациональными
числами
Алгебраические
3
Дробно-рациональные
выражения
выражения.
Степени.
Выполнение
тождественных
преобразований
рациональных выражений
Центральная
4
Формулировка
симметрия
определения
и
доказательство
свойств
центральносимметричных фигур.
Деление отрезка на равные
части с помощью циркуля
и линейки.

Уравнения
неравенства

и 5

Определение
равносильных уравнений.
Применение
свойств
уравнений
с
одной
переменной. Определение
количества
действительных
корней
квадратного
уравнения.
Решение
дробнорациональных уравнений,
сводящихся к линейным
или
квадратным
уравнениям,
использование
метода
замены
переменной.
Решение текстовых задач
алгебраическим способом:
переход от словесной
формулировки
условия
задачи к алгебраической
модели путем составления
уравнения;
решение
составленного уравнения;
интерпретация результата.
Графическая
интерпретация уравнений
с двумя переменными.

Формы работы / характеристика
деятельности обучающихся
Практикум по решению задач:
от простого к сложному
Практикум по решению задач:
от простого к сложному

Исследовательская работа (в
том числе с использованием
«математических
пакетов»):
свойства
центральносимметричных фигур.
Проект: центральная симметрия
в окружающем мире.
Самостоятельное открытие: как
выполнить деление отрезка на
равные части с помощью
циркуля и линейки
Исследовательская
работа:
равносильность и следствие.
Практикум
по
решению
сюжетных задач.
Практикум по решению задач:
от простого к сложному –
дробно-рациональные
уравнения.
Исследовательская работа (в
том числе с использованием
«математических
пакетов»):
графическая
интерпретация
уравнений
с
двумя
переменными.

5

Преобразование
подобия

6

Уравнения
и 4
неравенства: системы
уравнений;
неравенства

7

Доказательства
неравенств

4

3

Решение
систем
уравнений, в которых одно
из уравнений не является
линейным. Графическая
интерпретация решения
уравнения
с
двумя
переменными и систем
уравнений
с
двумя
переменными.
Введение
понятия
преобразования подобия и
подобных фигур.
Соотношения в подобных
фигурах
Решение
систем
уравнений, в которых одно
из уравнений не является
линейным. Графическая
интерпретация решения
уравнения
с
двумя
переменными и систем
уравнений
с
двумя
переменными.
Решение
нелинейных неравенств и
их
систем.
Решение
неравенств, содержащих
знак модуля. Изображение
решения неравенства с
одной
переменной
и
системы неравенств на
координатной
прямой,
запись
решения
с
помощью
символов.
Неравенство
с
двумя
переменными.
Графический
метод
решения
систем
неравенств
с
двумя
переменными.
Оценка
значения
выражения
с
использованием
неравенств.
Применение
свойств
неравенств в ходе решения
задач.
Определение
равносильных неравенств.
Доказательство
неравенств.

Самостоятельное открытие: что
такое преобразование подобия?
Исследовательская работа (в
том числе с использованием
«математических пакетов»): что
такое фрактал?
Практикум по решению задач
Практикум по решению задач.
Самостоятельное
открытие:
графическая
интерпретация
решения уравнения с двумя
переменными
и
систем
уравнений
с
двумя
переменными.
Практикум по решению задач.

Практическая
работа:
построение
моделей
–
неравенство
как
модель
реальной ситуации.
Самостоятельное
открытие:
методы
доказательства
неравенств.
Исследовательская
работа:
линейное неравенство с одной
переменной с параметром

8

Прямоугольные
треугольники

3

9

Функции

2

10

Числа и вычисления: 4
делимость

ИТОГО: 34

Решение текстовых задач с
помощью
линейных
неравенств
с
одной
переменной.
Доказательство
соотношений
между
пропорциональными
отрезками
в
прямоугольном
треугольнике.
Применение соотношений
при решении задач.
Поиск
области
определения и множества
значений
функции.
График
функции
k/x.
Функция
вида
(ax+b)/(cx/d).
Формулировка делимости
нацело, чисел, сравнимых
по
данному
модулю.
Выполнение деления с
остатком. Доказательство
и применение свойств
сравнений по модулю.
Нахождение
остатков
суммы и произведения по
данному модулю.

Практикум
по
решению
практико-ориентированных
задач.
Самостоятельное открытие: что
я знаю про прямоугольный
треугольник?
Самостоятельное
открытие:
функция вида (ax + b)/(cx + d)

Исследовательская
работа:
делимость.
Самостоятельное
открытие:
сравнение по модулю.
Проблемный
практикум:
решение задач на поиск
остатков суммы и произведения
по модулю.